Question

過拋物線y=x²的頂點作互相垂直的兩條弦OA、OB，拋物線的頂點O在直線AB上的射影為P，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：設P（x，y），欲求這條曲線的方程，只須求出x，y之間的關系即可，利用OA⊥OB，結合方程根與系數的關系，將此條件用坐標代入化簡即得曲線的方程．

解答：解：設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
l_AB：y=kx+b，（b≠0）由

y=kx+b y=x2

消去y得：x²-kx-b=0，x₁x₂=-b．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（x₁x₂）²=-b+（-b）²=0，b≠0，∴b=1，∴直線AB過定點M（0，1），
又OP⊥AB，∴點P的軌跡是以OM為直徑的圓（不含原點O），
∴點P的軌跡方程為x2+(y-

1

2

)2=

1

4

(y＞0)．

點評：本題主要考查了直接法求軌跡方程，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．