Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，BC上平面ABE，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）設點M為線段AB的中點，點N為線段CE的中點．求證：MN∥平面DAE．
（3）若AB=10，AE=6，BC=6，求CE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中BC⊥平面ABE，BF⊥平面ACE，由線面垂直的性質可得BC⊥AE，AE⊥BF，再由線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE，最后再由線面垂直的性質得到AE⊥BE；
（2）設BE中點為P，連接MP，NP，由三角形中位線定理，可得NP∥AD，MP∥AE，結合面面平行的判定定理可得平面MNP∥平面ADE，最后由面面平行的性質可得MN∥平面DAE．
（3）過E作G垂直AB，連接GC，根據線面夾角的定義，可得∠EGC為EC與平面ABCD所成的角，解三角形EGC即可得到答案．

解答：證明：（1）由題意得：

BC⊥平面ABE AE?平面ABE ?BC⊥AE BF⊥平面ACE?AE⊥BF

?AE⊥平面BCE
∴AE⊥BE
（2）設BE中點為P，連接MP，NP，
NP∥BC?NP∥AD，MP∥AE
所以平面MNP∥平面ADE
所以MN∥平面ADE
解：（3）過E作G垂直AB，連接GC
易得EG⊥平面ABCD
則∠EGC為EC與平面ABCD所成的角
∵AB=10，AE=6，BC=6，
∴sin∠ECG=

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點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定和性質，熟練掌握空間直線與平面位置關系的定義，判定，性質和幾何特征是解答本題的關鍵．