Question

將如圖所示的邊長為a的等邊三角形鐵片，剪去三個四邊形，做成一個無蓋的正三棱柱形容器（不計接縫），設容器的高為x，容積為V（x）。
（1）寫出函數V（x）的解析式，并求出函數的定義域；
（2）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積。

Answer 1

解：（1）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為，
則，
函數的定義域為；
（2）實際問題歸結為求函數V（x）在區間上的最大值點，
先求V（x）的極值點，在開區間內，，
令V′（x）=0，即，解得，x₂=（舍去），
因為在區間內，x₁可能是極值點，
當0＜x＜x₁時，V′（x）＞0；
當時，V′（x）＜0，
因為x₁是極大值點，且在區間內，x₁是唯一的極值點，
所以是V（x）的最大值點，并且最大值為，
即當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為。