Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，O為BC的中點，AO∥面EFD，
(Ⅰ)求BD的長；
(Ⅱ)求證：面EFD⊥面BCED；
(Ⅲ)求平面DEF與平面ACEF相交所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）取ED的中點P，連接PO，PF， 則PO為梯形BCED的中位線，， 又， 所以PO∥AF，所以A，O，P，F四點共面。 因為AO∥面EFD，且面AOPF∩面EFD=PF， 所以AO∥PF， 所以四邊形AOPF為平行四邊形，PO=AF=2， 所以BD=1。 （Ⅱ）由題意可知平面ABC⊥面BCED； 又AO⊥BC且平面ABC， 所以AO⊥面BCED， 因為AO∥PF， 所以PF⊥面BCED， 又面EFD， 所以面EFD⊥面BCED； （Ⅲ）以O為原點，OC，OA，OP所在直線分別為x，y，z軸， 建立空間直角坐標系， ， 設Q為AC的中點，則， 易證：BQ⊥平面ACEF，平面ACEF的法向量為， 設平面DEF的法向量為，， 由得，所以， 所以， 所以平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為。