Question

已知函數f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an構成一個數列，又f(1)＝n2． (1) 求數列｛an｝的通項公式 (2) 證明：f()＜1

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：∵f(1)＝n2，令x＝1，得f(1)＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2，即Sn＝n2． 　　當n＝1時，a1＝S1＝1． 　　當n≥2時，an＝Sn－Sn－l＝n2－(n－1)2＝ 　　又a1＝1＝2×1－1，∴an＝2n－l(n∈N*)．
(2)	∵f()＝＋3×()2＋5×()3＋…＋(2n－1)×()n 　　∴f()＝1×()2＋3×()3＋…＋(2n－3)×()n＋(2n－1)×()n+1 　　以上兩式相減得f()＝＋2［()2＋()3＋…＋()n］－(2n－1)×()n+1＝＋2×－(2n－1)()n＋1＝－2(2n＋1)()n+1 　　∴f()＝1－(n＋1)()n＜1． 　　點評：此題綜合了數列與函數、數列與不等式及數列求和等方面的知識．