Question

（08年北京卷文）（本小題共13分）

數列滿足，（），是常數．

（Ⅰ）當時，求及的值；

（Ⅱ）數列是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數，當時總有．

Answer 1

解：（Ⅰ）由于，且．

所以當時，得，故．

從而．

（Ⅱ）數列不可能為等差數列，證明如下：

由，

得，，．

若存在，使為等差數列，則，即，

解得．于是，．

這與為等差數列矛盾．所以，對任意，都不可能是等差數列．

（Ⅲ）記，根據題意可知，且，即

且，這時總存在，滿足：當時，；

當時，．

所以由及可知，若為偶數，則，從而當時，；若為奇數，則，從而當時．

因此“存在，當時總有”的充分必要條件是：為偶數，

記，則滿足．

故的取值范圍是．

【高考考點】遞推數列，等差數列的判定及通項公式；數列與不等式的交匯。

【備考提示】作為壓軸題，往往是綜合性較強，深難度較高，因此，在解壓軸題時，要注意分段得分、分步得分、跳步得分。要學會和敢于取舍。