Question

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F（-，0）.且右頂點為D（2，0），設點A的坐標是（1，）.

(1)求該橢圓的標準方程.

(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；

(3)過原點O的直線交橢圓于點B、C.求△ABC面積的最大值.

Answer 1

解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.

     又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標準方程為

(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x₀,y₀),

由  得 

點P在橢圓上,得,

∴線段PA中點M的軌跡方程是.

(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S_△ABC=1.

當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,

解得B(),C(-),

則,又點A到直線BC的距離d=,

∴△ABC的面積

于是

由,得,其中,當k=－時,等號成立.

∴的最大值是.