Question

在三棱錐PABC中，PA、PB、PC兩兩成角，PA＝a，PB＝b，PC＝c，求三棱錐P－ABC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本題實(shí)際是平行六面體內(nèi)的一角，關(guān)鍵是求高． 　　解答　　如圖，設(shè)頂點(diǎn)A在平面PBC的射影為H，連結(jié)PH．由已知，PA、PB、PC兩兩成角， 　　∴PH是∠BPC的平分線，在平面PBC上，過H作HE⊥PB， 　　連結(jié)AE，∴AE⊥PE．在Rt△PAH中，PH＝PA·cos∠APH， 　　在Rt△PHE中，PE＝PHcos∠HPE，∠PA·cos∠HPE， 　　∴cos∠APE＝cos∠APH·cos∠HPE． 　　∵∠APE＝，∠HPE＝，∴cos∠APH＝， 　　sin∠APH＝． 　　∵PA＝a，∴AH＝a，S△PBC＝bcsin＝bc． 　　∴VP－ABC＝S△PBC·AH＝×bc×a＝abc． 　　評析　　(1)把A、B、C中的任一個點(diǎn)作為頂點(diǎn)(其余三點(diǎn)構(gòu)成的三角形作為底面)是解題的關(guān)鍵，這說明改變幾何體的放置方式或改變對幾何體的觀察角度在解題中是十分重要的．(2)當(dāng)a＝b＝c時，得到正四面體的體積是a3．(3)若在PA、PB、PC上各任取一點(diǎn)M、N、R，設(shè)PM＝m，PN＝n，PR＝r，則容易證明＝，這一結(jié)論與PA、PB、PC成多大的角無關(guān)．