Question

已知拋物線x²=4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且

AF

=λ

FB

(λ＞0)．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．
（Ⅰ）證明

FM

.

AB

為定值；
（Ⅱ）設△ABM的面積為S，寫出S=f（λ）的表達式，并求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_o，y_o），根據拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設直線方程與拋物線方程聯立消去y，根據判別式大于0求得x₁+x₂和x₁x₂，根據曲線4y=x²上任意一點斜率為y′=

x

2

，可得切線AM和BM的方程，聯立方程求得交點坐標，求得

FM

和

AB

，進而可求得

FM

•

AB

的結果為0，進而判斷出AB⊥FM．
（2）利用（1）的結論，根據x₁+x₂的關系式求得k和λ的關系式，進而求得弦長AB，可表示出△ABM面積．最后根據均值不等式求得S的范圍，得到最小值．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_o，y_o），焦點F（0，1），準線方程為y=-1，
顯然AB斜率存在且過F（0，1）
設其直線方程為y=kx+1，聯立4y=x²消去y得：x²-4kx-4=0，
判別式△=16（k²+1）＞0．
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
于是曲線4y=x²上任意一點斜率為y′=

x

2

，則易得切線AM，BM方程分別為y=（

1

2

）x₁（x-x₁）+y₁，y=（

1

2

）x₂（x-x₂）+y₂，其中4y₁=x₁²，4y₂=x₂²，聯立方程易解得交點M坐標，x_o=

x1+x2

2

=2k，y_o=

x1x2

4

=-1，即M（

x1+x2

2

，-1）
從而，

FM

=（

x1+x2

2

，-2），

AB

（x₂-x₁，y₂-y₁）

FM

•

AB

=

1

2

（x₁+x₂）（x₂-x₁）-2（y₂-y₁）=

1

2

（x₂²-x₁²）-2[

1

4

（x₂²-x₁²）]=0，（定值）命題得證．
這就說明AB⊥FM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=

1

2

|AB||FM|．
∵

AF

=λ

FB

(λ＞0)，
∴（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），即

-x1=λx2 1-y1=λ(y2-1)

，
而4y₁=x₁²，4y₂=x₂²，
則x₂²=

4

λ

，x₁²=4λ，
|FM|=

( x1+x2 2 )2+(-2)2

=

1 4 x12+ 1 4 x22+ 1 2 x1x2+4

=

λ+ 1 λ +2

=

λ

+

1

λ

．
因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y=-1的距離，所以
|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=

1

4

x

2 1

+

1

4

x

2 2

+2=λ+

1

λ

+2=（

λ

+

1

λ

）²．
于是S=

1

2

|AB||FM|=

1

2

（

λ

+

1

λ

）³，
由

λ

+

1

λ

≥2知S≥4，且當λ=1時，S取得最小值4．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．拋物線與直線的關系和拋物線的性質等都是近幾年高考的熱點，故應重點掌握．