Question

設首項不為零的等差數列{a_n}前n項之和是S_n，若不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12對任意{a_n}和正整數n恒成立，則實數λ的最大值為（　　）

• A、0
• B、

  1

  5

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

分析：由等差數列{a_n}前n項之和是S_n，我們利用等差數列的前n項和公式，可將不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12進行變形，配方后，根據實數的性質，易得實數λ的最大值．

解答：解：∵Sn=

(a1+an)

2

n
∴an2+

Sn2

n2

≥λa12可以變形成：

5

4

an2+

1

2

a1an+(

1

4

-λ)a12≥0
即(

5

4

an+

1

5

a1)2+(

1

5

-λ)a12≥0
若不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12對任意{a_n}和正整數n恒成立
僅需要λ≤

1

5

即可
則實數λ的最大值為

1

5

故選B

點評：數列是一種定義域為正整數的特殊函數，我們可以利用研究函數的方式研究它，特別是等差數列對應的一次函數，等比數列對應的指數型函數，我們要善于通過數列的通項公式、前n項和公式，或數列相關的一些性質，在解數列相關的不等式時，也可以利用配方法、放縮法等解不等式的方法．