Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1與x=-

2

3

時，都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若f(-1)=

3

2

，求f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

分析：（1）因為函數在極值點處導數等于0，所以若f（x）在x=1與x=-

2

3

時，都取得極值，則f′（1）=0，f′（-

2

3

）=0，就可得到a，b的值．
（2）先由f(-1)=

3

2

求出函數中的c扥值，再求導數，令導數大于0，解得x的范圍是函數的增區間，令導數小于0，解得x的范圍是函數的減區間，增區間與減區間的分界點為極值點，且當極值點左側導數大于0，右側導數小于0時取得極大值，當極值點左側導數小于0，右側導數大于0時取得極小值，再把x的值代入原函數求出極大值與極小值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，∵f（x）在x=1與x=-

2

3

時，都取得極值，
∴f′（1）=0，f′（-

2

3

）=0，即3×1+2a+b=0，3×(-

2

3

)2+2a（-

2

3

）+b=0
解得a=-

1

2

，b=-2
（2）由（1）知，f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c
∵f(-1)=

3

2

，∴-1-

1

2

+2+c=

3

2

，解得c=1
∴f（x）=x³-

1

2

x²-2x+1
又∵f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）＞0，即3x²-x-2＞0，解得，x＜-

2

3

，或x＞1，
令f′（x）＜0，即3x²-x-2＜0．解得，-

2

3

＜x＜1
∴函數的增區間為 (-∞，-

2

3

)，(1，+∞)；減區間為(-

2

3

，1)，
∴函數在x=-

2

3

時又極大值為 

49

27

，在x=1時有極小值為-

1

2

．

點評：本題主要考查了函數的導數與極值，單調區間之間的關系，屬于導數的應用．