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(2012•成都一模)已知函數f(x)在[a,b]上連續,定義
f1(x)=f(t)min,x∈[a,b],a≤t≤x
f2(x)=f(t)max,x∈[a,b],a≤t≤x
;其中f(x)min(x∈D)表示f(x)在D上的最小值,f(x)max(x∈D)表示f(x)在D上的最大值.若存在最小正整數k使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數”.有下列命題:
①若f(x)=cosx,x∈[0,π],則f1(x)=1,x∈[0,π];
②若f(x)=2x,x∈[-1,4],則f2(x)=2x,x∈[-1,4]
③f(x)=x為[1,2]上的1階收縮函數;
④f(x)=x2為[1,4]上的5階收縮函數.
其中你認為正確的所有命題的序號為
②③④
②③④
分析:①根據新定義f(x)=cosx的最小值,可得f1(x)的解析式;
②根據指數函數的性質f(x)=2x,x∈[-1,4],上為增函數,f(x)max=24=16,從而進行判斷;
③根據f(x)=x為[1,2]可以求出f1(x)和f2(x),再利用存在最小正整數k使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數,的定義進行判斷;
④根據新定義求出求出f1(x)和f2(x),再代入f2(x)-f1(x)≤k(x-a)將問題轉化為函數恒成立問題,求出k的最小值;
解答:解:①由題意可得:f1(x)=f(t)min=cosx,,x∈[0,π],故①錯誤;
②f(x)=2x,x∈[-1,4],f(x)為增函數,∴f2(x)=2x,x∈[0,π],故②正確;
③∵f(x)=x,x∈[1,2],f(x)為單調增函數,f1(x)=f(x)=1,f2(x)=f(x)=x,∴f2(x)-f1(x)=x-1=1,a=1,
∴存在k=1,使得(x-1)≤1×(x-1),對任意的x∈[1,2]成立,故③正確
④∵f(x)=x2為[1,4]上為單調增函數,f1(x)=1,f2(x)=x2,a=1,x∈[1,4]
∴f2(x)-f1(x)=x2-1,x-a=x-1,存在k=5
∴x2-1≤k(x-1),x∈[1,4],0≤x-1≤3
∴k≥x+1恒成立,k≥5,k的最小值為5,
∴f(x)=x2為[1,4]上的5階收縮函數.故④正確;
故答案為②③④;
點評:本題主要考查學生的對新問題的接受、分析和解決的能力.要求學生要有很扎實的基本功才能作對這類問題.
練習冊系列答案
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(2012•成都一模)已知函數f(x)=x2-2mx+2-m
(1)若不等式f(x)≥-mx+2在R上恒成立,求實數m的取值范圍
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①f(x)=
1x
;②f(x)=2x

③f(x)=lg(x2+2);
④f(x)=cosπx,
其中你認為是“1的飽和函數”的所有函數的序號為
②④
②④

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(2012•成都一模)已知函數f(x)=
3
inωxcosωx+1-sin2ωx
的周期為2π,其中ω>0.
(I)求ω的值及函數f(x)的單調遞增區間;
(II)在△ABC中,設內角A、B、C所對邊的長分別為a、b,c若a=
3
,c=2,f(A)=
3
2
,求b的值.

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(2012•成都一模)設集合S={1,2,3,4,5,6},定義集合對(A,B):A⊆S,B⊆S,A中含有3個元素,B中至少含有2個元素,且B中最小的元素不小于A中最大的元素.記滿足A∪B=S的集合對(A,B)的總個數為m,滿足A∩B≠∅的集合對(A,B)的總個數為n,則
m
n
的值為(  )

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