Question

（2012•成都一模）已知函數f（x）在[a，b]上連續，定義

f1(x)=f(t)min，x∈[a，b]，a≤t≤x f2(x)=f(t)max，x∈[a，b]，a≤t≤x

；其中f（x）_min（x∈D）表示f（x）在D上的最小值，f（x）_max（x∈D）表示f（x）在D上的最大值．若存在最小正整數k使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數”．有下列命題：
①若f（x）=cosx，x∈[0，π]，則f₁（x）=1，x∈[0，π]；
②若f（x）=2^x，x∈[-1，4]，則f2(x)=2x，x∈[-1，4]
③f（x）=x為[1，2]上的1階收縮函數；
④f（x）=x²為[1，4]上的5階收縮函數．
其中你認為正確的所有命題的序號為

②③④

．

Answer 1

分析：①根據新定義f（x）=cosx的最小值，可得f₁（x）的解析式；
②根據指數函數的性質f（x）=2^x，x∈[-1，4]，上為增函數，f（x）_max=2⁴=16，從而進行判斷；
③根據f（x）=x為[1，2]可以求出f₁（x）和f₂（x），再利用存在最小正整數k使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數，的定義進行判斷；
④根據新定義求出求出f₁（x）和f₂（x），再代入f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）將問題轉化為函數恒成立問題，求出k的最小值；

解答：解：①由題意可得：f₁（x）=f（t）_min=cosx，，x∈[0，π]，故①錯誤；
②f（x）=2^x，x∈[-1，4]，f（x）為增函數，∴f₂（x）=2^x，x∈[0，π]，故②正確；
③∵f（x）=x，x∈[1，2]，f（x）為單調增函數，f₁（x）=f（x）=1，f₂（x）=f（x）=x，∴f₂（x）-f₁（x）=x-1=1，a=1，
∴存在k=1，使得（x-1）≤1×（x-1），對任意的x∈[1，2]成立，故③正確
④∵f（x）=x²為[1，4]上為單調增函數，f₁（x）=1，f₂（x）=x²，a=1，x∈[1，4]
∴f₂（x）-f₁（x）=x²-1，x-a=x-1，存在k=5
∴x²-1≤k（x-1），x∈[1，4]，0≤x-1≤3
∴k≥x+1恒成立，k≥5，k的最小值為5，
∴f（x）=x²為[1，4]上的5階收縮函數．故④正確；
故答案為②③④；

點評：本題主要考查學生的對新問題的接受、分析和解決的能力．要求學生要有很扎實的基本功才能作對這類問題．