Question

人口的增長是當前世界上各國普遍關注的問題.我們經常在報刊上看到關于人口增長的預報,說到本世紀中葉,全世界(或某地區)人口將達到多少億.你可能注意到不同的報刊對同一時間的人口預報在數字上有較大的區別.你知道他們是如何預測的嗎?為什么會有較大的區別呢?

早在1798年,英國經濟學家馬爾薩斯就提出自然狀態下的人口增長模型y=y₀·e^rt,其中t表示時間,y₀表示t=0時的人口數,r表示人口的年平均增長率.

下面兩個表格是我國兩段時期的人口資料,試分別求出這兩段時期的人口模型,并進行比較,解釋為什么會不同,并預測2010年時我國人口總數.

甲                                 1950—1959

年份	1950	1951	1952	1953	1954
人數(萬)	55 196	56 300	57 482	58 796	60 266
年份	1955	1956	1957	1958	1959
人數(萬)	61 456	62 828	64 563	65 994	67 207

乙                                 1991—1998

年份	1991	1992	1993	1994
人數(萬)	114 333	115 823	117 171	118 517
年份	1995	1996	1997	1998
人數(萬)	119 850	121 121	122 389	123 626

Answer 1

解析:設1950—1959年的人口增長率分別為r₁,r₂,…,r₉.由55 196(1+r₁)=56 300,得r₁≈0.020 0.

    同理r₂≈0.021 0,r₃≈0.022 9,r₄≈0.025 0,r₅≈0.019 7,r₆≈0.022 3,r₇≈0.027 6,r₈≈0.022 2,r₉≈0.018 4.

    于是，1950—1959年人口增長率為r=(r₁+r₂+…+r₉)/9≈0.022 1.

    ∴1950—1959年的人口增長模型y₁=55 196e^{0.022 1t}(t∈N).

    設1991—1998年人口增長率分別為s₁,s₂,…,s₇,

    由114 333(1+s₁)=115 823得s₁≈0.013 0.

    同理s₂≈0.011 6,s₃≈0.011 5,s₄≈0.011 2,s₅≈0.010 6,s₆≈0.010 5,s₇≈0.010 1.

    ∴1991—1998年的人口年平均增長率為r=(s₁+s₂+…+s₇)/7≈0.011 2.

    ∴1991—1998年的人口增長模型y₂=114 333e^{0.011 2t},(t∈N).

    后者的人口平均增長率明顯小于前者,這正說明了我國的計劃生育政策所起的作用.

    若以模型一預測我國2010年人口數為y₁=55 196·e^{0.022 1×60}≈207 865.16(萬人),

    以模型二預測為y₂=114 333·e^{0.011 2×19}≈141 445.59(萬人),

    很明顯應以1991—1998年的模型預測是合理的,到2010年我國人口預計可達14億.