Question

已知函數f（x）=(

1

2x-1

+

1

2

)•x．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）求證：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由分母不能為零得2^x-1≠0求解即可．要注意定義域要寫成集合或區間的形式．
（2）在（1）的基礎上，只要再判斷f（x）與f（-x）的關系即可，但要注意作適當的變形．
（3）在（2）的基礎上要證明對稱區間上成立可即可．不妨證明：當x＞0時，則有2^x＞1進而有2^x-1＞0，

1

2x-1

＞0然后得到(

1

2x-1

+

1

2

)•x＞0．再由奇偶性得到對稱區間上的結論．

解答：解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，∴函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）=(

1

2x-1

+

1

2

)•x=

2x+1

2(2x-1)

•x
∴f（-x）=

2-x+1

2(2-x-1)

•(-x)=-x•

1 2x +1

2( 1 2x -1)

=-x•

1+2x

2(1-2x)

=-

2-x+1

2(2-x-1)

•x=f(x)
∴函數f（x）為定義域上的偶函數．
（3）證明：當x＞0時，2^x＞1
∴2^x-1＞0，
∴

1

2x-1

＞0，
∴(

1

2x-1

+

1

2

)•x＞0
∵f（x）為定義域上的偶函數
∴當x＜0時，f（x）＞0
∴f（x）＞0成立

點評：本題主要考查函數的定義域，奇偶性和函數的值域，特別是在判斷奇偶性時，可作適當變形，但要做到等價變形．