Question

已知函數f（x）=x³+3ax-1
（1）若函數y=f（x）在x=-1時有與x軸平行的切線，求f（x）的表達式；
（2）設g（x）=[af'（x）-3a²+3]，其中f^-1（x）是f（x）的導函數，若函數g（x）的圖象與直線y=x相切，求a的值；
（3）設a=-m²，當實數m在什么范圍內變化時，函數y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導，根據函數y=f（x）的圖象在x=-1時有與x軸平行的切線，利用導數的幾何意義，可知f′（-1）=0，解方程即可求得結果；
（2）先求出函數g（x），再利用函數g（x）的圖象與直線y=x相切，建立方程組，從而可求a的值
（3）先求f′（x）=3x²-3m²，再進行分類討論：①當m=0時，f（x）=x³-1的圖象與直線y=3只有一個公共點；②當m≠0時，求得極值，明確關鍵點，再利用圖象間的關系求解．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+3a
∵函數y=f（x）在x=-1時有與x軸平行的切線
∴f′（-1）=3+3a=0
∴a=-1
∴f（x）=x³-ax-1
（2）g（x）=[af′（x）-3a²+3]=[a（3x²+3a）-3a²+3]=ax²+1，
設函數g（x）=ax²+1與直線y=x的切點是P（x，y），
則有，解得
（3）f′（x）=3x²-3m²
①當m=0時，f（x）=x³-1的圖象與直線y=3只有一個公共點
②當m≠0時，f（x）_極小=f（|m|）=-2m²×|m|-1＜-1
又∵f（x）的值域是R，且在（|m|，+∞）上單調遞增
∴當x＞|m|時函數y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點．
當x＜|m|時，恒有f（x）≤f（-|m|）
由題意得f（-|m|）＜3
即2m²×|m|-1=2|m|³-1＜3
解得
綜上，m的取值范圍是

點評：本題考查導數的幾何意義，考查利用導數研究函數的極值問題，考查數形結合的數學思想方法，同時考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．