Question

如圖（1），一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P．如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P（圖（2））
有下列四個(gè)命題：
A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半
B．將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)P
C．任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P
D．若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿．
其中真命題的代號(hào)是：

 

（寫出所有真命題的代號(hào)）．

Answer 1

分析：設(shè)出圖（1）的水高，和幾何體的高，計(jì)算水的體積，容易判斷A、D的正誤；
對(duì)于B，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長方體中截面上，根據(jù)體積判斷它是正確的．
根據(jù)當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，計(jì)算水的體積和實(shí)際不符，是錯(cuò)誤的．

解答：解：設(shè)圖（1）水的高度h₂幾何體的高為h₁
圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故A錯(cuò)誤，D正確．
對(duì)于B，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長方體中截面上，
又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)，故B正確．
對(duì)于C，假設(shè)C正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，
經(jīng)計(jì)算得水的體積為

25

36

b²h₂＞

2

3

b²h₂，矛盾，故C不正確．
故選BD

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間想象能力，邏輯思維能力，幾何體的體積，是難題．