Question

設函數f（x）=（a-2）ln（-x）++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≠0時，求f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用和式函數的求導公式求解導函數，有對數函數先求定義域，令f′（x）=0，求出極值點，利用導數研究函數的極值；
（2）判定函數當x變化時，f'（x）的變化情況，f'（x）＞0求得單調增區間，f'（x）＜0求得單調減區間，f'（x）的變化情況研究出函數的極值．
解答：解：（Ⅰ）依題意，知f（x）的定義域為（-∞，0）．
當a=0時，，=．
令f′（x）=0，解得．
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

由上表知：當時，f′（x）＞0；當時，f′（x）＜0．
故當時，f（x）取得極大值為2ln2-2．（5分）
（Ⅱ）==
若a＞0，令f′（x）＞0，解得：；令f′（x）＜0，解得：．
若a＜0，①當-2＜a＜0時，
令f′（x）＞0，解得：；
令f′（x）＜0，解得：或．
②當a=-2時，，
③當a＜-2時，
令f′（x）＞0，解得：；
令f′（x）＜0，解得：或．
綜上，當a＞0時，f（x）的增區間為，減區間為；
當-2＜a＜0時，f（x）的增區間為，減區間為，；
當a=-2時，f（x）的減區間為（-∞，0），無增區間；
當a＜-2時，f（x）的增區間為，減區間為，．（14分）
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值．