Question

給出下列四個命題：
①角θ為第二象限角的充要條件是sinθ＞0且cosθ＜0；
②角θ為第三象限角的充要條件是cosθ＜0且tanθ＞0；    
 ③角θ為第四象限角的充分非必要條件是

sinθ

tanθ

＞0；     
④角θ為第一象限角的必要非充分條件是sinθ•cosθ＞0．
其中正確命題的序號為

①②④

．

Answer 1

分析：根據充分條件、必要條件、充要條件的定義，以及三角函數在各個象限中的符號，可得①②④正確，③不正確，由此
得到結論．

解答：解：∵由角θ為第二象限角，可得到sinθ＞0且cosθ＜0．再由sinθ＞0且cosθ＜0，可推出角θ為第二象限角，
故θ為第二象限角的充要條件是sinθ＞0且cosθ＜0，故 ①正確．
∵由角θ為第三象限角，可得到cosθ＜0且tanθ＞0．再由cosθ＜0且tanθ＞0，可推出角θ為第二象限角，
 故角θ為第三象限角的充要條件是cosθ＜0且tanθ＞0．
∵由角θ為第四象限角，可得 sinθ＜0，tanθ＜0，故有

sinθ

tanθ

＞0．由

sinθ

tanθ

＞0，可得sinθ＜0，tanθ＜0，
或sinθ＞0，tanθ＞0，故θ 為第四象限角或為第一象限角，
角θ為第四象限角的必要非充分條件是

sinθ

tanθ

＞0，故③不正確．
∵由角θ為第一象限角，可得sinθ＞0，且cosθ＞0．由sinθ•cosθ＞0，
可得cosθ＞0，sinθ＞0，或 cosθ＜0，sinθ＜0，故θ 為第一象限角或為第三象限角．
故角θ為第一象限角的必要非充分條件是sinθ•cosθ＞0，故④正確．
故答案為①②④．

點評：本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，象限角的定義以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題．