Question

若二項式(2cos2α+

1

cosα

)n（0＜α＜π）的展開式中，第二、三、四項的二項式系數成等差數列，且第6項為168，則a的值是

π

3

．

Answer 1

分析：先確定數列的通項，再利用第二、三、四項的二項式系數成等差數列，可確定n的值，利用第6項為168，即可求得α的值．

解答：解：展開式的通項為：T_r+1=

C

r n

(2cos2α)n-r(

1

cosα

)r=

C

r n

×2n-r×(cosα)2n-3r
∵第二、三、四項的二項式系數成等差數列，
∴2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，∴n²-9n+14=0，∴n=7或n=2（舍去）
∵第6項為168
∴

C

5 7

×22×(cosα)-1=168
∴cosα=

1

2

∵0＜α＜π
∴α=

π

3

故答案為：

π

3

點評：本題考查二項式定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．