Question

已知橢圓的方程為=1（a＞b＞0），它的一個焦點與拋物線y²=8x的焦點重合，離心率e=，過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點M（1，0），且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓和y²=8x拋物線有共同的焦點，求出拋物線的焦點坐標，離心率，根據(jù)a²=b²+c²，即可求得橢圓C的方程；
（2）設出直線l的方程和點A，B的坐標，并代入，聯(lián)立聯(lián)立消去y，得到關于x的一元二次方程，△＞0，利用韋達定理即可求得．
解答：解：（1）設橢圓的右焦點為（c，0），
因為y²=8x的焦點坐標為（2，0），所以c=2
因為，則a²=5，b²=1
故橢圓方程為：
（2）由（I）得F（2，0），
設l的方程為y=k（x-2）（k≠0）
代入，得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∴
∵，∴（x₁+x₂-2）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0∴，
∴
所以直線l的方程為．
點評：此題是個難題．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質，待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，以及直線和橢圓相交中的有關中點弦的問題，綜合性強，特別是問題（2）的設問形式，增加了題目的難度，注意直線與圓錐曲線相交，△＞0．體現(xiàn)了數(shù)形結合和轉化的思想方法．