Question

對于函數 ，若存在，使成立，則稱為的不動點．如果函數有且僅有兩個不動點0，2，且．
（1）    求函數的單調區間；
（2）    已知數列各項不為零且不為1，滿足，求證：；
設，為數列的前項和，求證：

Answer 1

解：（1）設，
所以，所以，由，
又，所以，所以，
于是，
于是易求得的增區間為，減區間為………… 4分
（2）由已知可得，當時，
兩式相減得，所以或
當時，，若，則與矛盾，
所以，從而，于是要證的不等式即為，于是我們可以考慮證明不等式：，令，則，
再令，由知，所以當時，單調遞增，所以，于是，即①
令，當時，單調遞增，所以，于是，即②
由①②可知，所以，
即原不等式成立。                                             ………… 9分
（3）由（2）可知，，在中，令，并將各式相加得

即

略