Question

4．在邊長為3的正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖（1）將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結A₁B、A₁P（如圖（2））．
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B-A₁P-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在圖（1）中，取BE的中點D，連結DF，由已知可得△ADF為正三角形．進一步得到EF⊥AD．在圖（2）中，可得A₁E⊥EF，BE⊥EF，即∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的一個平面角，由題設條件知此二面角為直二面角，可得A₁E⊥平面BEP； 
（2）分別以EB、EF、EA₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，然后分別求出面EA₁P與面BA₁P的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值得答案．

解答 （1）證明：在圖（1）中，取BE的中點D，連結DF，
∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，
而∠A=60°，∴△ADF為正三角形．
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．
在圖（2）中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的一個平面角，
由題設條件知此二面角為直二面角，∴A₁E⊥平面BEP； 
（2）解：分別以EB、EF、EA₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則E（0，0，0），B（2，0，0），P（1，$\sqrt{3}$，0），A₁（0，0，1），
$\overrightarrow{E{A}_{1}}=（0，0，1），\overrightarrow{EP}=（1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（-2，0，1），\overrightarrow{BP}=（-1，\sqrt{3}，0）$．
設面EA₁P的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{A}_{1}}=z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EP}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，0）；
設面BA₁P的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-2x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{3}-1×1}{2×4}$=$\frac{1}{4}$，
∴二面角B-A₁P-E的大小的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，關鍵是注意折疊問題中折疊前后的變量與不變量，是中檔題．