Question

已知圓O的方程為x²+y²=1和點A（a，0），設圓O與x軸交于P、Q兩點，M是圓OO上異于P、Q的任意一點，過點A（a，0）且與x軸垂直的直線為l，直線PM交直線l于點E，直線QM交直線l于點F．
（1）若a=3，直線l₁過點A（3，0），且與圓O相切，求直線l₁的方程；
（2）證明：若a=3，則以EF為直徑的圓C總過定點，并求出定點坐標；
（3）若以EF為直徑的圓C過定點，探求a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵直線l₁過點A（3，0），且與圓C：x²+y²=1相切，
設直線l₁的方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
則圓心O（0，0）到直線l₁的距離為d=

|3k|

k2+1

=1，解得k=±

2

4

，
∴直線l₁的方程為y=±

2

4

（x-3），即y=±

2

4

（x-3）．
（2）對于圓方程x²+y²=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l₂過點a且與x軸垂直，∴直線l₂方程為x=3，設M（s，t），則直線PM方程為y=

t

s+1

（x+1）．
解方程組

x=3 y= t s+1 (x+1)

，得P′(3，

4t

s+1

)同理可得，Q′(3，

2t

s-1

)
∴以P′Q′為直徑的圓C′的方程為（x-3）（x-3）+（y-

4t

s+1

）（y-

2t

s-1

）=0，
又s²+t²=1，∴整理得(x2+y2-6x+1)+

6s-2

t

y=0，
若圓C′經過定點，只需令y=0，從而有x²-6x+1=0，解得x=3±2

2

，
∴圓C′總經過定點坐標為（3±2

2

，0）．
（3）以EF為直徑的圓C過定點，它的逆命題：設圓O與x軸交于P、Q兩點，M是圓O上異于P、Q的任意一點，
過點M（m，0）且與x軸垂直的直線為l₂，直線PM交直線l₂于點P′，
直線QM交直線l₂于點Q′，以P′Q′為直徑的圓C總過定點，則m＞1或者m＜-1．