Question

函數f(x)=

2x4+ax3+4x2+bx+6

x4+2x2+3

最大值與最小值之和為

4

．

Answer 1

分析：構造函數g(x)=f(x)-2=

ax3+bx

x4+2x2+3

，可判斷g（x）為奇函數，利用奇函數圖象的性質即可求出答案．

解答：解：∵f(x)=

2(x4+2x2+3)+(ax3+bx)

x4+2x2+3

=2+

ax3+bx

x4+2x2+3

，
∴令g(x)=f(x)-2=

ax3+bx

x4+2x2+3

，
∵g（-x）=

a(-x)3+b(-x)

(-x)4+2(-x)2+3

=-

ax3+bx

x4+2x2+3

=-g（x），
∴函數g（x）為奇函數，
令g_max（x）=f_max（x）-2=M，
∴f_max（x）=M+2，
根據奇函數的性質可知，g_min（x）=f_min（x）-2=-M，
∴f_min（x）=-M+2，
∴f_max（x）+f_min（x）=（M+2）+（-M+2）=4，
∴函數f(x)=

2x4+ax3+4x2+bx+6

x4+2x2+3

最大值與最小值之和為4．
故答案為：4．

點評：本題主要考查奇函數圖象的性質、函數的最值及分析問題解決問題的能力，解決本題的關鍵是恰當構造奇函數．屬于中檔題．