Question

我們可以證明：已知sinθ=t（|t|≤1），則sin

θ

2

至多有4個不同的值．
（1）當t=

3

2

時，寫出sin

θ

2

的所有可能值；
（2）設實數t由等式log

1

2

2(t+1)+a•log

1

2

(t+1)+b=0確定，若sin

θ

2

總共有7個不同的值，求常數a、b的取值情況．

Answer 1

分析：（1）由t的值得到sinθ的值，然后利用同角三角函數間的基本關系求出cosθ的值，再利用二倍角的余弦函數公式即可求出sin

θ

2

所有可能的值；
（2）利用換元的思想，設u=log

1

2

(t+1)，把原方程化為關于u的方程，要使sin

θ

2

有七個不同的值，必須sinθ有兩個不同的值，根據正弦函數的值域，可求出t的兩個解，一個為0，另一個解的范圍為（-1，0）∪（0，1），進而求出此時a與b的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：sinθ=

3

2

⇒cosθ=±

1

2

，
∴1-2sin²

θ

2

=

1

2

或1-2sin²

θ

2

=-

1

2

，
解得：sin

θ

2

=

3

2

或sin

θ

2

=-

3

2

或sin

θ

2

=

1

2

或sin

θ

2

=-

1

2

；
（2）令u=log

1

2

(t+1)，原方程變為u²+au+b=0，
要使sin

θ

2

有七個不同的值，必須sinθ有兩個不同的值，且t₁=0，t₂∈（-1，0）∪（0，1），
從而b=0，a∈（-∞，0）∪（0，1），
此時，u1=log

1

2

(t1+1)=0，u2=log

1

2

(t2+1)∈(-1，0)∪(0，+∞)．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，二倍角的余弦函數公式，以及正弦函數的定義域及值域，利用了換元的思想，熟練掌握基本關系及公式是解本題的關鍵．