Question

已知函數f（x）=x³-3ax．
（1）當a=1時，求函數f（x）在閉區間[-2，2]上的極值；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），令f'（x）=0，得x=-1或x=1，列表討論，能求出f（x）在[-2，2]上的極大值和極小值．
（2）f'（x）=3x²-3a=3（x²-a），根據a的符號進行分類討論，能得到函數f（x）的單調性．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x，
f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，得x=-1或x=1，…（2分）
當x在區間（-2，2）上變化時，f'（x）與f（x）的變化情況如下：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）
f'（x）	正	0	負	0	正
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

故f（x）在[-2，2]上有極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2．…（6分）
（2）f'（x）=3x²-3a=3（x²-a）
當a≤0時，f'（x）≥0在R上恒成立，
故f（x）在R上為增函數  …（8分）
當a＞0時，由f'（x）≥0得：x≤-

a

或x≥

a

；
由f'（x）≤0得：-

a

≤x≤

a

，
故f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上為增函數，
在[

a

，-

a

]上為減函數．…（11分）
綜上：當a≤0時，f（x）在R上為增函數；
當a＞0時，f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上為增函數，在[

a

，-

a

]上為減函數．…（12分）

點評：本題考查函數的極值和單調性的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．