Question

已知函數f（x）=x²-（-1）^k•2lnx（k∈N^*）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當k是偶數時，正項數列{a_n}滿足a1=1，f′(an)=

a 2 n+1 -3

an

．
①求數列{a_n}的通項公式；
②若bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，記S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：S_n＜1．
（3）當k是奇數時，是否存在實數b，使得方程f(x)=

3

2

x2+x+b在區間（0，2]上恰有兩個相異實根？若存在，求出b的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出函數的定義域，求出導函數，討論當k為奇數時，當k為偶數時兩種情形，然后利用函數的單調性與導函數符號的關系求出單調性．
（2）①由已知得2an-

2

an

=

a 2 n+1 -3

an

，得到2(

a

2 n

+1)=

a

2 n+1

+1，從而{

a

2 n

+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式寫出數列{a_n}的通項公式；
②由bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，可得bn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，下面利用拆項法求S_n并化簡，從而得出證明．
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數b，使方程使f(x)=

3

2

x2+x+b在區間（0，2]上恰有兩個相異實根．再利用其等價于方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在區間（0，2]上恰有兩個相異實根．求出b的范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）由已知得x＞0，且f′(x)=2x-(-1)k•

2

x

當k為奇數時，則f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函數；
當k為偶數時，則f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

2

，
所以當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）是增函數．故當k為偶數時，f（x）在（0，1）是減函數，在（1，+∞）是增函數；…（5分）
（2）①由已知得2an-

2

an

=

a 2 n+1 -3

an

，即2(

a

2 n

+1)=

a

2 n+1

+1，而

a

2 1

+1=2≠0
所以{

a

2 n

+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，故

a

2 n

+1=2•2n-1=2n，而{a_n}是正項數列，從而可得an=

2n-1

．                           …（7分）
②由bn=

2n

a 2 n • a 2 n+1

，可得bn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

所以Sn=b1+b2+b3+…+bn=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1…（10分）
（3）當k為奇數時，f（x）=x²+2lnx，假設存在實數b，使方程使f(x)=

3

2

x2+x+b在區間（0，2]上恰有兩個相異實根．等價于方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在區間（0，2]上恰有兩個相異實根．令h(x)=2lnx-

1

2

x2-x-b，
則h′(x)=

2

x

-x-1=

-x2-x+2

x

=

-(x+2)(x-1)

x

，
當x∈（0，1）時，h'（x）＞0，當x∈（1，2]時，h'（x）＜0
所以h（x）在（0，1）上是增函數，在（1，2]上是減函數
所以要使方程2lnx-

1

2

x2-x-b=0在區間（0，2]上恰有兩個相異實根，等價于

h(1)=- 3 2 -b＞0 h(2)=2ln2-4-b≤0

⇒2ln2-4≤b＜-

3

2

故存在實數b，當b∈[2ln2-4，-

3

2

)時，方程f(x)=

3

2

x2+x+b在區間（0，2]上恰有兩個相異實根．                                           …（13分）

點評：本題考查利用導函數討論函數的單調性：導函數為正函數遞增；導函數為負，函數遞減，同時考查了分類討論的數學思想方法，屬于難題．