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如圖，四棱錐P－ABCD底面是邊長為a的正方形，PD＝2a，PA＝PC＝a.

(1)求證:PD⊥平面ABCD；

(2)求CP與平面DPB所成角的大小.

證明:（1）∵正方形ABCD中，，且，

∴，

∴PD⊥DA，PD⊥DC.

又

∴PD⊥平面ABCD.  

（2）連結AC交BD于點O，連結PO,則在正方形ABCD中, CO⊥BD.            

PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥CO ∴CO⊥平面PBD

∴∠CPO即為CP與平面PDB所成的角.

∵CP= ，CO=, ∴ ,

∴,

 ∴CP與平面PDB所成的角大小為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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同步練習冊答案
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