Question

一組數據由小到大依次為2，2，a，b，12，20．已知這組數據的中位數為6，若要使其標準差最小，則a，b的值分別為（ ）
A．3，9
B．4，8
C．5，7
D．6，6

Answer 1

【答案】分析：根據這組數據的中位數，得到a+b=12，做出這組數據的平均數，要使的這組數據的標準差最小，只要方差最小就可以，寫出方差的表示式，在式子中用a代替b，根據二次函數的最值求法，得到結果．
解答：解：∵數據由小到大依次為2，2，a，b，12，20．
已知這組數據的中位數為6，
∴，
∴a+b=12，b=12-a
這組數據的平均數是=8
這組數據的標準差最小，只要方差最小就可以，
表示出這組數據的方差
由題意知要使的方差最小，只要（a-8）²+（b-8）²=（a-8）²+（4-a）²
=2a²-24a+80最小，
根據二次函數的性質知當a==6時，
函數值最小，此時b=12-6=6，
即當a，b都為6是，標準差最小，
故選D．
點評：本題考查一組數據的中位數，考查求一組數據的平均數，考查一組數據的方差和標準差，考查用二次函數的性質求函數的最小值，本題是一個為綜合題目．