Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與拋物線y=x²+1有公共點，則雙曲線的離心率e的取值范圍（　　）

• A、[

  5

  4

  ，+∞)
• B、[5，+∞）
• C、[

  5

  2

  ，+∞)
• D、[

  5

  ，+∞)

Answer 1

分析：先根據雙曲線方程表示出漸近線方程與拋物線方程聯立，利用判別式等于0求得a和b的關系，進而求得a和c的關系，則雙曲線的離心率可得．

解答：解：依題意可知雙曲線漸近線方程為y=±

b

a

x，與拋物線方程聯立消去y得x²±

b

a

x+1=0 
∵漸近線與拋物線有交點
∴△=

b 2

a2

-4≥0，求得b²≥4a²，
∴c=

a2+b2

≥

5

a
∴e=

c

a

≥

5

則雙曲線的離心率e的取值范圍：e≥

5

．
故選D．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質和圓錐曲線之間位置關系．常需要把曲線方程聯立根據判別式和曲線交點之間的關系來解決問題．