Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D為AB的中點．
（Ⅰ）求證AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求證AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判斷出AC⊥BC，同時因為三棱柱為直三棱柱，從而證出．
（2）：因為D為AB的中點，連接C₁B和CB₁交點為E，連接DE，∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，根據三角形中位線定理得DE∥AC₁，得到AC₁∥平面CDB₁；第三問：因為AC₁∥DE，所以∠CED為AC₁與B₁C所成的角，求出此角即可．
解法二：利用空間向量法．如圖建立坐標系，
（1）：證得向量點積為零即得垂直．
（2）：=λ，與兩個向量或者共線或者平行可得．第三問：
解答：證明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內的射影為BC，∴AC⊥BC₁；
（Ⅱ）設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）∵DE∥AC₁，∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角，
在△CED中，ED=AC₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，
∴cos∠CED==，
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

解法二：
∵直三棱錐ABC-A₁B₁C₁底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC₁兩兩垂直．
如圖建立坐標系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4），D（，2，0）（Ⅰ）∵=（-3，0，0），=（0，4，4），
∴•=0，
∴⊥．
（Ⅱ）設CB₁與C₁B的交點為E，則E（0，2，2）
∵=（-，0，2），=（-3，0，4），
∴=，∴∥
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）∵=（-3，0，0），=（0，4，4），
∴cos＜，＞==，
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為．
點評：本題考查向量的幾何意義a•b=|a||b|cosα；向量垂直?a•b=0；直線與平面的證明方法．