Question

已知直線l與拋物線y²=8x交于A，B兩點，且l經過拋物線的焦點F；
（1）若已知A點的坐標為（8，8），求線段AB中點到準線的距離．
（2）求△ABO面積最小時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）確定拋物線的焦點坐標，求出AB的方程，代入拋物線方程，求得線段AB中點橫坐標，即可求出線段AB中點到準線的距離．
（2）△ABO面積最小時，AB最短，此時AB⊥x軸，從而可求直線l的方程．

解答：解：（1）依題意得F（2，0），∴直線AB方程為

y-0

8-0

=

x-2

8-2

，化簡得y=

4

3

(x-2)，
代入y²=8x得2x²-17x+8=0，∴線段AB中點橫坐標為

x1+x2

2

=

17 2

2

=

17

4

，
又準線方程為x=-2，∴中點到準線距離d=

17

4

-(-2)=

25

4

；
（2）設AB的方程為x=my+2，代入y²=8x，可得y²-8my-16=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴|y₁-y₂|=

64m2+64

，∴m=0時，|y₁-y₂|最小為8，
∵SABO=

1

2

•2|y₁-y₂|，∴m=0時，△ABO面積最小，此時AB⊥x軸，
∴面積最小為8，所求直線方程為：x=2．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．