Question

已知函數f（x）=x，函數g（x）是反比例函數，且g（1）=2，令h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函數g（x），并證明函數h（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
（2）解h（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）由題意易得函數g（x）的解析式，進而可得h（x）的解析式，由單調性的定義可證明；（2）由h（x）=1得x=2或x=-1，由函數的單調性和奇偶性，可得解集．

解答：解：（1）設g(x)=

k2

x

，令g（1）=2，解得k₂=2
∴g(x)=

2

x

．------------------（2分）
依題意h(x)=x-

2

x

，設x₁＜x₂∈（0，+∞），
則h(x1)-h(x2)=x1-

2

x1

-(x2-

2

x2

)=
(x1-x2)+(

2

x2

-

2

x1

)=(x1-x2)+

2(x1-x2)

x1x2

=(x1-x2)(1+

2

x1x2

)＜0即h（x₁）＜h（x₂），
∴函數h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是單調增函數．-------------（8分）
（2）由h（x）=1得x=2或x=-1，---------（10分）
又函數h（x）為奇函數，且在（0，+∞）上是單調增函數，
∴h（x）在（-∞，0）上也是單調增函數，-------------------（12分）
∴h（x）＞1的解集為（-1，0）∪（2，+∞）---------------（14分）

點評：本題考查函數單調性的判斷和證明，以及函數奇偶性的應用，屬基礎題．