Question

已知函數f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（

π

4

，0），將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個

π

2

單位長度后得到函數g（x）的圖象．
（1）求函數f（x）與g（x）的解析式
（2）是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某種順序成等差數列？若存在，請確定x₀的個數，若不存在，說明理由；
（3）求實數a與正整數n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內恰有2013個零點．

Answer 1

（1）∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，
∴ω=

2π

T

=2，
又曲線y=f（x）的一個對稱中心為(

π

4

，0)，φ∈（0，π），
故f（

π

4

）=sin（2×

π

4

+φ）=0，得φ=

π

2

，所以f（x）=cos2x．
將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移

π

2

個單位長度后得到函數g（x）=cos（x-

π

2

）的圖象，
∴g（x）=sinx．
（2）當x∈（

π

6

，

π

4

）時，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）內是否有解．
設G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（

π

6

，

π

4

），
則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（

π

6

，

π

4

），
∴G′（x）＞0，G（x）在（

π

6

，

π

4

）內單調遞增，
又G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，且G（x）的圖象連續不斷，故可知函數G（x）在（

π

6

，

π

4

）內存在唯一零點x₀，即存在唯一零點x₀∈（

π

6

，

π

4

）滿足題意．
（3）依題意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
當sinx=0，即x=kπ（k∈Z）時，cos2x=1，從而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等價于關于x的方程a=-

cos2x

sinx

，x≠kπ（k∈Z）．
現研究x∈（0，π）∪（π，2π）時方程a=-

cos2x

sinx

的解的情況．
令h（x）=-

cos2x

sinx

，x∈（0，π）∪（π，2π），
則問題轉化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點情況．
h′（x）=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，令h′（x）=0，得x=

π

2

或x=

3π

2

，
當x變換時，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，2π）
h′（x）	+	0	-	-	0	+
h（x）	↗	1	↘	↘	-1	↗

當x＞0且x趨近于0時，h（x）趨向于-∞，
當x＜π且x趨近于π時，h（x）趨向于-∞，
當x＞π且x趨近于π時，h（x）趨向于+∞，
當x＜2π且x趨近于2π時，h（x）趨向于+∞，
故當a＞1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內無交點，在（π，2π）內有2個交點；
當a＜-1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內有2個交點，在（π，2π）內無交點；
當-1＜a＜1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內有2個交點，在（π，2π）內有2個交點；
由函數h（x）的周期性，可知當a≠±1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內總有偶數個交點，從而不存在正整數n，使得直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內恰有2013個零點；
又當a=1或a=-1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）內有3個交點，由周期性，2013=3×671，
∴依題意得n=671×2=1342．
綜上，當a=1，n=1342，或a=-1，n=1342時，函數F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內恰有2013個零點．