Question

(本小題滿分13分)某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元～1000萬元的投資收益.現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.（Ⅰ）若建立函數模型制定獎勵方案，試用數學語言表述公司對獎勵函數模型的基本要求；（Ⅱ）現有兩個獎勵函數模型：(1)y＝；(2)y＝4lgx－3.試分析這兩個函數模型是否符合公司要求？

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)  符合公司要求

解析:

（Ⅰ）設獎勵函數模型為y＝f(x)，則公司對函數模型的基本要求是：

當x∈[10，1000]時，①f(x)是增函數；②f(x)≤9恒成立；③恒成立.  （3分）

（Ⅱ）（1）對于函數模型：當x∈[10，1000]時，f(x)是增函數，則.所以f(x)≤9恒成立.因為函數在[10，1000]上是減函數，所以. 從而，即不恒成立.故該函數模型不符合公司要求.

（2）對于函數模型f(x)＝4lgx－3：當x∈[10，1000]時，f(x)是增函數，則.  所以f(x)≤9恒成立.設g(x)＝4lgx－3－，則.當x≥10時，，

所以g(x)在[10，1000]上是減函數，從而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立.故該函數模型符合公司要求.  （13分）