Question

已知拋物線C：y=x²，過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線．
（1）若拋物線C在點M的法線的斜率為-，求點M的坐標（x，y）；
（2）設P（-2，4）為C對稱軸上的一點，在C上一定存在點，使得C在該點的法線通過點P．試求出這些點，以及C在這些點的法線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切線和法線垂直，則其斜率之積等于-1，可得M處的切線的斜率k=2，再根據導數的幾何意義，結合已知即可求得點M的坐標；
（2）分x=-2和x≠-2兩種情況討論，若x=-2，則C上點M處的切線斜率k=0，若x≠-2，則過點M（x，y）的法線方程為：．分別求得法線方程即可．
解答：解：（1）函數的導數y′=2x+4，點（x，y）處切線的斜率k=2x+4、
∵過點（x，y）的法線斜率為，∴（2x+4）=-1，解得x=-1，．故點M的坐標為（-1，）．
2設M（x，y）3為C上一點，
（2）若x=-2，則C上點M處的切線斜率k=0，
過點M的法線方程為x=-2，法線過點P（-2，4）；
若x≠-2，則過點M（x，y）的法線方程為：．
若法線過點P（-2，4），則，
解得x=0，，得x+4y-14=0，或者x=-4，，得x-4y+18=0．
綜上，在C上有點（0，），（-4，）及，
在該點的法線通過點P，法線方程分別為x+4y-14=0，x-4y+18=0，x=-2
點評：本題通過曲線的切線和法線問題，考查了導數的運算和幾何意義，同時綜合運用了分類討論的數學思想，難度較大．