Question

如圖表示了一個由區間（0，1）到實數集R的映射過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3，圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則 m的象就是n，記作f（m）=n．
（1）方程f（x）=0的解是x=

1

2

；
（2）下列說法中正確的是命題序號是

③④

．（填出所有正確命題的序號）
①f(

1

4

)=1；②f（x）是奇函數；③f（x）在定義域上單調遞增；④f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱．

Answer 1

分析：（1）f（x）=0時，對應的點N（0，0）在點A的正下方，故可得結論；
（2）借助于圖形來看四個選項，先利用f（

1

4

）=-1，判斷出①錯，在有實數m所在區間（0，1）不關于原點對稱，知②錯；從圖形上可得f（x）在定義域上單調遞增，③對；先找到f（

1

2

）=0，再利用圖形判斷④對，

解答：解：（1）f（x）=0時，對應的點N（0，0）在點A的正下方，所以f（

1

2

）=0，∴x=

1

2

（2）如圖，因為M在以（1，1-

1

2π

）為圓心，（1-

1

2π

--為半徑的圓上運動，
對于①當m=

1

4

時．M的坐標為（-

1

2π

，1-

1

2π

），直線AM方程y=x+1，所以點N的坐標為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，即①錯．
對于②，因為實數m所在區間（0，1）不關于原點對稱，
所以f（x）不存在奇偶性．故②錯．
對于③，當實數m越來越大時，如圖直線AM與x軸的交點N（n，0）也越來越往右，即n也越來越大，所以f（x）在定義域上單調遞增，即③對．
對于④當實數m=

1

2

時，對應的點在點A的正下方，此時點N（0，0），所以f（

1

2

）=0，
再由圖形可知f（x）的圖象關于點（

1

2

，0）對稱，即④對．
故答案為：

1

2

，③④．

點評：本題考查映射的概念，題型新穎，寓數于形，是一個考查理解能力的題，對題設中所給的關系進行探究，方可得出正確答案，本題易因為理解不了題意而導致無法下手，較抽象，難．