Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：

a₁

a₂  a₃

a₄   a₅  a₆

a₇  a₈   a₉    a₁₀記表中的第一列數a₁,a₂,a₄,a₇,…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1,S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足＝1（n≥2）.

(Ⅰ)證明數列成等差數列，并求數列{b_n}的通項公式；

(Ⅱ)上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數，當時，求上表中第k(k≥3)行所有項的和.

Answer 1

(Ⅰ)證明：由已知，當n≥2時，，

     

      所以數列是首項為1，公差為的等差數列.

      由上可知    .

      即  

      所以當

      因此

(Ⅱ)解：設上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q＞0.

      因為   1+2+…+12＝＝78，

      所以表中第1行至第12行共含有數列{a_n}的前78項，

      故    a₈₁在表中第13行第三列，

      因此    

      又        

      所以         q=2.

      記表中第≥3)行所有項的和為S，

      則（k≥3）.