Question

設函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1），若對所有的x≥0，都有f（x）≥a x成立，則實數(shù)a的取值范圍為

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，對g（x）求導得g'（x）=ln（x+1）+1-a，令g'（x）=0⇒x=e^a-1-1，
當a≤1時，對所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，又g（0）=0，所以對x≥0時有g（x）≥g（0），即當a≤1時都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，當a＞1時，對于0＜x＜e^a-1-1時，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）上是減函數(shù)，又g（0）=0，所以對于0＜x＜e^a-1-1有g（x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以當a＞1時f（x）≥ax不一定成立，綜上所述即可得出a的取值范圍．

解答：解：令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
對函數(shù)g（x）求導數(shù)：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）當a≤1時，對所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又g（0）=0，所以對x≥0，都有g（x）≥g（0），
即當a≤1時，對于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）當a＞1時，對于0＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）是減函數(shù)，
又g（0）=0，所以對0＜x＜e^a-1-1，都有g（x）＜g（0），
即當a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為（-∞，1]．

點評：本題考查了導數(shù)在最大值最小值問題中的應用，考查了利用函數(shù)的導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，題目難度較大．