Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1），要證明PC⊥BC，可以轉(zhuǎn)化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易證明BC⊥平面PCD，從而得證；
（2），有兩種方法可以求點(diǎn)A到平面PBC的距離：
方法一，注意到第一問(wèn)證明的結(jié)論，取AB的中點(diǎn)E，容易證明DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第一問(wèn)證明的結(jié)論知平面PBC⊥平面PCD，交線(xiàn)是PC，所以只求D到PC的距離即可，在等腰直角三角形PDC中易求；
方法二，等體積法：連接AC，則三棱錐P-ACB與三棱錐A-PBC體積相等，而三棱錐P-ACB體積易求，三棱錐A-PBC的地面PBC的面積易求，其高即為點(diǎn)A到平面PBC的距離，設(shè)為h，則利用體積相等即求．

解答：解：（1）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因?yàn)镻C?平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：
易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等．
又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=

2

2

，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于

2

．

（方法二）等體積法：連接AC．設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h．
因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
從而AB=2，BC=1，得△ABC的面積S_△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S△ABC•PD=

1

3

．
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以PC=

PD2+DC2

=

2

．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面積S△PBC=

2

2

．
由V_A-PBC=V_P-ABC，

1

3

S△PBC•h=V=

1

3

，得h=

2

，
故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力．