Question

已知在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且

2

acosB=ccosB+bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）設向量

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(12，-5)，求當

m

•

n

取最大值時，tanC的值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的三角函數的關系式，利用正弦定理和兩角和的正弦公式，和誘導公式，做出角B的余弦值，根據角的范圍求出角的大小．
（2）先表達出兩個向量的數量積，整理出關于cosA的二次函數形式，看出函數的最大值，根據同角的三角函數之間的關系得到結果．

解答：解：（1）由題意

2

sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB…（1分）
所以

2

sinAcosB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA…（3分）
∵0＜A＜π，∴sinA≠0∴cosB=

2

2

…（4分）
∵0＜B＜π，∴B=

π

4

…（5分）
（2）∵

m

•

n

=12cosA-5cos2A（3）…（6分）
∴

m

•

n

=-10cos2A+12cosA+5=-10(cosA-

3

5

)2+

43

5

…（7分）
所以當cosA=

3

5

時，

m

•

n

取最大值．…（8分）
此時sinA=

4

5

(0＜A＜π)∴tanA=

4

3

…（9分）
∴tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=7…（10分）

點評：本題考查正弦定理的應用，考查三角函數的化簡求值，考查向量數量積的運算，本題解題的關鍵是整理出關于角A的余弦的二次函數求出最值，本題是一個中檔題目．