Question

已知橢圓D：

x2

50

+

y2

25

=1與圓M：x²+（y-5）²=9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．

Answer 1

分析：依題意，設雙曲線G的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），從而得到其漸近線方程，由橢圓方程可求得雙曲線G的兩個焦點F₁（-5，0），F₂（5，0），利用圓心M（0，5）到兩條漸近線的距離為r=3即可求得a，b，從而可得雙曲線G的方程．

解答：解：∵橢圓D

x2

50

+

y2

25

=1的兩個焦點F₁（-5，0），F₂（5，0），因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c=5．
設雙曲線G的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴漸近線為bx±ay=0且a²+b²=25，
∵圓心M（0，5）到兩條漸近線的距離為r=3，
∴

|5a|

a2+b2

=3，即

5|a|

5

=3，解得a=3，b=4，
∴G方程為

x2

9

-

y2

16

=1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與橢圓的簡單性質，考查點到直線間的距離公式，屬于中檔題．