Question

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C₁的內切圓半徑為．記C₂為以曲線C₁與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓C₂的標準方程；
（Ⅱ）設AB是過橢圓C₂中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點．
（1）若|MO|=λ|OA|（O為坐標原點），當點A在橢圓C₂上運動時，求點M的軌跡方程；
（2）若M是l與橢圓C₂的交點，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用封閉圖形的面積為，曲線C₁的內切圓半徑為，求出a、b的值，待定系數法寫出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）（1）假設AB所在的直線斜率存在且不為零，設AB所在直線方程為y=kx，代入橢圓的方程，用k表示|OA|的平方，
由|MO|²=λ²|OA|²，得到|MO|²．再用k表示直線l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|² 的式子，消去k得到
M的軌跡方程．當k=0或不存在時，軌跡方程仍成立．
（2）當k存在且k≠0時，由（1）得，，同理求出點M的橫坐標的平方、縱坐標的平方，
計算出AB的平方，計算出|MO|²，可求出三角形面積的平方，使用基本不等式求出面積的最小值，再求出當k不存在
及k=0時三角形的面積，比較可得面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得 ，又a＞b＞0，解得  a²=5，b²=4．
因此所求橢圓的標準方程為    ．
（Ⅱ）（1）假設AB所在的直線斜率存在且不為零，設AB所在直線方程為y=kx（k≠0），A（x_A，y_A）．
解方程組得，，
所以．
設M（x，y），由題意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），
所以|MO|²=λ²|OA|²，即，
因為l是AB的垂直平分線，所以直線l的方程為，即，
因此，
又x²+y²≠0，所以5x²+4y²=20λ²，故．
又當k=0或不存在時，上式仍然成立．
綜上所述，M的軌跡方程為．
（2）當k存在且k≠0時，由（1）得，，
由
解得，，
所以，，．
由于===，
當且僅當4+5k²=5+4k²時等號成立，即k=±1時等號成立，
此時△AMB面積的最小值是．
當k=0，．
當k不存在時，．
綜上所述，△AMB的面積的最小值為．
點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，參數法求軌跡方程，直線與圓錐曲線的位置關系的應用．