Question

已知函數滿足：對任意實數x₁，x₂，當x₁＜x₂時，總有f（x₁）-f（x₂）＞0，那么實數a的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知可得函數是（-∞，+∞）上的減函數，則分段函數在每一段上的圖象都是下降的，且在分界點即x=1時，第一段函數的函數值應大于等于第二段函數的函數值．由此不難判斷a的取值范圍．
解答：解：∵對任意實數x₁，x₂，當x₁＜x₂時，總有f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數是（-∞，+∞）上的減函數，
當x≥1時，y=log_ax單調遞減，
∴0＜a＜1；
而當x＜1時，f（x）=（3a-1）x+4a單調遞減，
∴a＜；
又函數在其定義域內單調遞減，
故當x=1時，（3a-1）x+4a≥log_ax，得a≥，
綜上可知，≤a＜．
故選A
點評：分段函數分段處理，這是研究分段函數圖象和性質最核心的理念，具體做法是：分段函數的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數的奇偶性、單調性要在各段上分別論證；分段函數的最大值，是各段上最大值中的最大者．