Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，1）．

   （Ⅰ）求橢圓方程；

   （Ⅱ）直線過(guò)點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F分向量所成的比為2，求直線的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為（>b>0）．

       依題意，, c=1，，，

       ∴所求橢圓方程為 ．

   （Ⅱ）若直線的斜率k不存在，則不滿足．

       當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．因?yàn)橹本�過(guò)橢圓的焦點(diǎn)

       F（0，1），所以取任何實(shí)數(shù), 直線與橢圓均有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．

       設(shè)A

       聯(lián)立方程   消去y，得．

       ，      ①               ，      ②

       由F（0，1），A，則，

       ，∴，得．

       將代入①、②，得， ③ ，   ④

       由③、④ 得，，化簡(jiǎn)得，

解得，.∴直線的方程為：．