Question

如圖所示，已知圓E：x²+（y﹣1）²=4交x軸分別于A，B兩點，交y軸的負半軸于點M，過點M作圓E的弦MN．
（1）若弦MN所在直線的斜率為2，求弦MN的長；
（2）若弦MN的中點恰好落在x軸上，求弦MN所在直線的方程；
（3）設弦MN上一點P（不含端點）滿足PA，PO，PB成等比數列（其中O為坐標原點），試探求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在圓E的方程中令x=0，得M（0，﹣1），
又K_MN=2，
所以弦MN所在直線的方程為y+1=2x，即2x﹣y﹣1=0．
∵圓心到直線MN的距離為，且r=2，
∴．
（2）因為y_M+y_N=0，所以y_N=1，代入圓E的方程中得N（±2，1）．
由M（0，﹣1），N（±2，1）得
直線MN的方程為x﹣y﹣1=0或x+y+1=0．
（3）易得，
設P（x，y），則由PAPB=PO²，得
，
化簡得①
由題意知點P在圓E內，所以x²+（y﹣1）²＜4，
結合①，4y²﹣4y﹣3＜0，
解得．
從而=．