Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE，證明平面MNE∥平面OCD，方法是兩個(gè)平面內(nèi)相交直線互相平行得到，從而的到MN∥平面OCD；
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補(bǔ)角）作AP⊥CD于P，連接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP菱形的對(duì)角相等得到∠ABC=∠ADC=，
利用菱形邊長(zhǎng)等于1得到DP=，而MD利用勾股定理求得等于，在直角三角形中，利用三角函數(shù)定義求出即可．

（3）AB∥平面OCD，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點(diǎn)A作AQ⊥OP于點(diǎn)Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD，
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，求出距離可得．

方法二：（1）分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，分別表示出A，B，O，M，N的坐標(biāo)，
求出，，的坐標(biāo)表示．設(shè)平面OCD的法向量為=（x，y，z），則，
解得，∴MN∥平面OCD
（2）設(shè)AB與MD所成的角為θ，表示出和，利用a•b=|a||b|cosα求出叫即可．
（3）設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d，則d為在向量上的投影的絕對(duì)值，由，
得．所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為．
解答：解：方法一（綜合法）
（1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE
∵M(jìn)E∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補(bǔ)角）
作AP⊥CD于P，連接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵，∴，，
∴
所以AB與MD所成角的大小為．

（3）∵AB∥平面OCD，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點(diǎn)A作AQ⊥OP于點(diǎn)Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，
∵，，
∴，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為．

方法二（向量法）
作AP⊥CD于點(diǎn)P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系：
A（0，0，0），B（1，0，0），，，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），，
設(shè)平面OCD的法向量為n=（x，y，z），則•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，-1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．

（2）設(shè)AB與MD所成的角為θ，
∵
∴，
∴，AB與MD所成角的大小為．

（3）設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d，則d為在向量=（0，4，）上的投影的絕對(duì)值，
由，得d==
所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為．
點(diǎn)評(píng)：培養(yǎng)學(xué)生利用多種方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，考查學(xué)生利用空間向量求直線間的夾角和距離的能力．