Question

如圖，在正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，F(xiàn)是A₁C₁的中點．
（1）求證：BC₁∥平面AFB₁；  
（2）求證：平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（1）連接A₁B與AB₁交于點E，連接EF．利用正三棱柱的性質(zhì)可得四邊形ABB₁A₁是矩形，得A₁E=EB．再利用三角形的中位線定理可得EF∥BC₁．利用線面平行的判定定理可得BC₁∥平面AFB₁；  
（2）利用正三棱柱的性質(zhì)可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，因此AA₁⊥B₁F．利用正三角形的性質(zhì)及F是邊A₁C₁的中點，可得B₁F⊥A₁C₁．利用線面垂直的判定定理可得B₁F⊥平面ACC₁A₁，再利用面面垂直的判定可得平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

解答：證明：（1）連接A₁B與AB₁交于點E，連接EF．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得四邊形ABB₁A₁是矩形，∴A₁E=EB．
又A₁F=FC₁，∴EF∥BC₁．
∵EF?平面AB₁F，BC₁?平面AB₁F，
∴BC₁∥平面AFB₁；  
（2）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥B₁F．
由F是正△A₁B₁C₁的A₁C₁的中點，∴B₁F⊥A₁C₁．
又A₁A∩A₁C₁=A₁，∴B₁F⊥平面ACC₁A₁，
∴平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

點評：本題綜合考查了正三棱柱的性質(zhì)、線面垂直與平行的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定定理、三角形的中位線定理、矩形的性質(zhì)等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力．