【題目】選修4-5：不等式選講
已知函數
（1）討論函數
的單調性；
（2）當
時，正數
滿足
，證明：
.
【答案】(1) 當
時，
在區間
上單調遞增，當
時，在
和
上單調遞增，在
上單調遞減.
(2)證明見解析.
【解析】分析：（1）分析單調性首先確定定義域，然后求導得
，再確定分子的符號即可得出單調性，此時二次函數的對稱軸未知所以可結合二次函數圖形進行分析討論；（2）因為當
時，
，由（1）可知在區間上單調遞增.又易知
，且
，不妨設
，要證
，只需證
，只需證
，即證
，即證
.構造函數
，
.分析函數單調性求出最值即可.
詳解：
（1）解：
的定義域為，
，
令
，
.
①當
時，
，
所以
對
恒成立，則在區間上單調遞增.
②當
或時，
，令
，得
，
.
（i）當時，
，
所以對恒成立，則在區間上單調遞增.
（ii）當時，
.
若
，
，函數單調遞增；
若
，
，函數單調遞減；
若
，，函數單調遞增.
綜上所述：當時，在區間上單調遞增.當時，在
和
上單調遞增；在
上單調遞減.
（2）證明：當時，，由（1）可知在區間上單調遞增.
又易知，且，不妨設，
要證，只需證，
只需證，即證，
即證.
構造函數，.
所以
，，
.
當時，
，所以函數
在區間
上單調遞增，
則
.
所以得證，從而.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
的圓心
在拋物線
上，圓
過原點且與拋物線的準線相切.
（1）求該拋物線的方程；
（2）過拋物線焦點
的直線
交拋物線于
， 
兩點，分別在點
， 
處作拋物線的兩條切線交于
點，求三角形
面積的最小值及此時直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知命題p：(x＋1)(x－5)≤0，命題q：1－m≤x<1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍；
(2)若m＝5，如果p和q有且僅有一個真命題，求實數x的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），直線
的參數方程為
（
為參數），且直線與曲線交于
兩點，以直角坐標系的原點為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線的極坐標方程；
（2） 已知點
的極坐標為
，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）g（x）分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f（x）+g（x）=23x．
（1）證明：f（x）-g（x）=23-x，并求函數f（x），g（x）的解析式；
（2）解關于x不等式：g（x2+2x）+g（x-4）＞0；
（3）若對任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-4恒成立，求實數m的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響，已知某學生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用
表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積．
（1）記“函數
為
上的偶函數”為事件
，求事件的概率；
（2）求的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，設函數f（x）=
sin2x+cos2x，且f（
）=2．
（1）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；
（2）記g（λ）=|
+λ
|，若||=||=3，試求g（λ）的最小值．
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