Question

設函數．（1）如果a=1，點p為曲線y=f（x）上一個動點，求以P為切點的切線其斜率取最小值時的切線方程；
（2）若x∈[a，3a]時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，求出導函數的最小值即為所求切線方程的斜率，再求出切點再由點斜式得到切線方程．
（2）根據導函數的正反判斷函數的單調性，然后對a的不同范圍求函數f（x）在x∈[a，3a]上的最小值使得大于等于0，進而可確定a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）設切線斜率為k則k=f'（x）=x²-2x-3，當x=1時k最小值為-4．
f（1）=-所以切線方程為y+=-4（x-1）即12x+3y+8=0
（Ⅱ）由k=f'（x）=x²-2x-3＞0，k=f'（x）=x²-2x-3＜0＜0得．
函數f（x）=，（a＞0）在（-∞，-1），（3，+∞）為增函數，在（-1，3）減函數
（1），無解；
（2）無解；
（3），解得a≥6．綜上所述a≥6．
點評：本題主要考查導數的幾何意義、函數單調性與其導函數的正負之間的關系，屬基礎題．